De familia humilde de labradores, quedó huérfano de niño y se trasladó y educó en Madrid con su hermana Antonia, donde inició sus estudios de música en el Conservatorio de Madrid. En 1839 su hermana le llevó a Italia donde estudia piano con el maestro Perelli y armonía con Mandancini, de forma privada. En1841 ingresa en el Conservatorio de Milán, gracias a la generosidad del conde de Litta, estudiando piano y armonía con el maestro Nicola Vaccai (entre 1838y 1846), terminando la carrera con premio extraordinario.
En Italia, en colaboración con el libretista Temistocle Solera, compuso su primera ópera: Ildegonda, estrenada en 1846 con la que obtiene gran éxito, y gana el premio de composición en la Scala de Milán. De vuelta en Madrid, en 1846 se da a conocer como director de orquesta en el teatro del Circo, en el que también estrena en el mismo año una sinfonía. Conoció a Isabel II en una fiesta de palacio. La reina lo tomó como profesor de canto, nombrándole compositor de la Corte tres años después, y ordenó construir un teatro en el Palacio Real donde Arrieta estrenó su primera ópera en 1849 y posteriormente, sus nuevas óperas La conquista de Granada (con letra en italiano, también de Solera) en 1850 y Pergolesi en 1851.
A pesar de haber contado con el apoyo de la reina, tras el derrocamiento de ésta publicó el himno Abajo los Borbones.
Fue nombrado profesor de composición de la Escuela Nacional de Música de Madrid en 1857 y pasó a ocupar el cargo de director, sucediendo a Hilarión Eslava, en 1868, que ocupó hasta su muerte en 1894. En esta época compuso numerosas obras destinadas a conciertos, concursos y actos académicos. Entre sus alumnos más destacados se encontraron Tomás Bretón y Ruperto Chapí.
Al renacer la zarzuela con los éxitos de Barbieri, Gaztambide y otros autores, junto con el cierre del Teatro del Real Palacio, hizo que Arrieta se sintiera seducido por la zarzuela, abandonando la ópera y llegando a producir más de cincuenta.
En 1853 estrenó su primera zarzuela en el Teatro del Circo, El dominó azul y, treinta años después, la última, San Francisco de Sena. En total es autor de cincuenta títulos, el más famoso de los cuales y el único que permanece en los repertorios habituales hoy en día es Marina, con libreto de Francisco Camprodón. Nacida como zarzuela en 1855 la convirtió en ópera que fue estrenada en el Teatro Real de Madrid en 1871.
En 1871 recibe la Gran Cruz de Isabel la Católica y en 1873 es nombrado académico de la Academia de Bellas Artes de San Fernando en la recién creada sección de música.
Aunque el estilo de Arrieta se puede considerar conservador, sus obras ricas en melodías, fluctúan entre las referencias locales y el italianismo que nunca abandonaría.