Torra aprendió las primeras notas con su padre, aficionado al piano y el canto. Estudió en Girona con Francisco Casellas, y continuó su formación en la prestigiosa Academia Marshall de Barcelona, ??con los profesores Frank Marshall y Domènec Mas y Serracant, su maestro de armonía y composición. Músico precoz, a los siete años ya acompañaba con el piano las proyecciones de cine mudo de su pueblo, ya los once escribía su primera obra.
Una vez terminada su formación en la academia, Torra permaneció durante diez años como profesor. En 1927, su familia se trasladó a vivir a Mataró, donde desde entonces fue profesor de piano de varias generaciones de mataronins. En el período anterior a la guerra civil española llevó una carrera de concertista de piano, que la contienda truncó definitivamente. Durante el franquismo se dedicó a la docencia, la composición y la dirección de orquestas y de corales. Uno de sus discípulos fue el compositor y pintor británico Neil Harbisson.
Muy vinculado a su ciudad de adopción, Mataró, Torra hay destacó por la vinculación en la Sala Cabañes, que se remonta ya a 1939, y como director de la Misa de Gloria de Manuel Blanch que se ejecuta por la fiesta de las Santas. Varias obras y arreglos de Torra se vincularon a la capital del Maresme: la inédita ópera Burriac, que dio en el ayuntamiento de la ciudad, el arreglo de la Misa de Gloria, la instrumentación de los Pastorets de Mataró (que se representan a la Sala Cabañes), la orquestación de los gozos de Les Santes ... Por su tarea ciudadana, en 2001 el Ayuntamiento de Mataró lo declaró Hijo Adoptivo y cuatro años más puso su nombre a uno de los nuevos viales del Parque central.
Como compositor, Enric Torra fue autor de una ópera, once sinfonías, sardanas, obras instrumentales para trío, cuarteto y quinteto, piezas para canto y piano, suites para piano y para piano y orquesta, de métodos de piano y de iniciación musical. Su producción se alarga a más de setenta obras, que comprenden más de doscientas composiciones; parte de su fondo personal se conserva en el Archivo Comarcal del Maresme.
Su hermano Juli Torra (Fornells de la Selva, 11 de abril de 1921 - 2 de febrero de 1999) fue intérprete de clarinete y saxofón, compuso varias sardanas y con Enric tocó a la "Orquesta Casal" (Mataró , 1951) y en el "Conjunto Bahía" (Mataró, desde 1951 hasta 1952). Otro hermano, Ángel (1918-Mataró, julio de 1995), fue sacerdote escolapio y, durante 41 años, profesor en California.