En 1903 se trasladó a Barcelona para estudiar ingeniería industrial y filosofía, pero se inició muy joven en el mundo de la música con los maestros Juan Latorre. Ingresó en 1904 en el Conservatorio Superior del Liceo. La obtención de un premio de composición en 1911 hizo que se decantara definitivamente por la música y completó los estudios primero en Múnich, donde conoció Max Reger, y luego en París, donde fue alumno de contrapunto y composición de Camille Saint-Saëns . Ganó el primer premio de composición en el concurso internacional de Viena (1911) con Suite levantina, para orquesta.
A partir de 1930 fue profesor del Conservatorio de Música de Madrid y entre 1931 y 1936 donde aconsejó al compositor Gustavo Pittaluga, presidió la Junta Nacional de Música. Tras la Guerra Civil Española se trasladó a Bruselas; en 1946 fue nombrado director del Laboratorio Musical Científico de aquella ciudad y en 1948 la UNESCO le encargó un estudio sobre el establecimiento del diapasón estándar.
En 1951 volvió del exilio. El año siguiente ingresó en la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando. En 1956 es elegido miembro de la Academia de Bellas Artes y el mismo se estableció el Premio Internacional de Música Oscar Esplá. En 1962 fue nombrado director del Conservatorio de Música Oscar Esplá de Alicante.
Miembro del consejo internacional de la Unesco y presidente de la sección española de la Sociedad Internacional para la Música Contemporánea, Esplá fue un ejemplo poco común de músico con diferentes carreras universitarias. Persona cosmopolita y de amplia cultura, cultivó también cuidadosamente la amistad de otros artistas de su tierra, como el escritor Gabriel Miró y el pintor Emilio Varela, con los que forma un trío de creadores excepcionales que marcó una época sin parangón en la Historia del arte alicantino.